Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

Dit is exact vergelijking 3, dus de oplossing klopt.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(5)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(6)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.


```{exercise} 
:label: ex_fout
Hoe groot is de fout in het warmtetransport door straling die we maken voor het temperatuurbereik waarin we deze proef uitvoeren?

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

## Data met dop eraf
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.858 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 41.4 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = np.array([0,20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,220,240,260,280,300,320,340,360,380,400,420,440,460,480,500,520,540,560,580,600])
temps = np.array([51.5, 50.3, 49.2, 48.3,47.2, 45.8, 44.1,42.5,41.9,40.7,39.2,38.1,37.6,36.5,36.1,35.7,35.1,34.3,34.1,33.8,33.2,32.9,32.6,32.2,31.7,31.3,31.1,30.9,30.6,30.5,30.2])


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[30, 500, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()
plt.savefig(r"C:\Users\Jesse\Desktop\TU Delft\IP2\thermolab\2\Figures\koelbuis_curve_fit_buis_zonder_dop",dpi= 400)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('De warmte overdrachtscoefficient h is',h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

print('De karakteristieke tijd tau in seconden is:',tau_exp) #tau in seconden

# Vraag 3:
# grafieken en meetwaarden komen redelijk overeen met groepsgenoten
# Vraag 4:
# het grootste deel van de warmteoverdrachtcoefficient h komt van convectie aan de buitenzijde van de buis. Straling speelt bij temperaturen van ~50°C maar een kleine rol. Geleiding vindt allen plaats met de standaard, maar deze is geisoleerd.

De warmte overdrachtscoefficient h is 0.1705011317742831
De karakteristieke tijd tau in seconden is: 282.99957747861777

Data met dop erop¶

#your code/answer

## Data met dop erop

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

buitenoppervlak = 0.858 # bepaal zelf in m^2
warmtecapaciteit = 41.4 # bepaal de warmtecapaciteit in J/K

times = np.array([0,20,40,60,80,100,120,140,160,180,200,
                  220,240,260,280,300,320,340,360,380,400,
                  420,440,460,480,500,520,540,560,580,600])
temps = np.array([48.4, 47.3, 46.2, 45.1, 43.9, 42.8, 41.8, 40.9, 40.0, 39.2, 38.4, 
                  37.7, 37.1, 36.6, 36.3, 35.7, 35.3, 34.9, 34.5, 34.2, 33.8, 33.5, 
                  33.3, 33.0, 32.8, 32.6, 32.3, 32.1, 31.9, 31.8, 31.6  ])


# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times, temps, p0=[30, 500, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt

y_fit = exp_func(times, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times, temps, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.legend()
plt.savefig(r"C:\Users\Jesse\Desktop\TU Delft\IP2\thermolab\2\Figures\koelbuis_curve_fit_buis_met_dop",dpi= 400)
plt.show()

h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
 
print('De warmte overdrachtscoefficient h is',h_exp) # warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K

print('De karakteristieke tijd tau in seconden is:',tau_exp) # tau in s

# met de dop erop is straling dominant voor de bepaling van de warmteoverdrachts coefficient h. 
# Alleen de convectie met de lucht aan de binnenkant van de buis wordt klijner omdat een kant afgseloten is en de lucht niet kan circuleren.

De warmte overdrachtscoefficient h is 0.18522242880234643
De karakteristieke tijd tau in seconden is: 260.5070485456078